Wednesday, September 08, 2004

வெளியின் வடிவங்கள் : தற்போதைய உயர்கணித சிறு குறிப்பு -1

1. என்னதான் ரகசியமோ உலகத்திலே ...

வடிவக்கணிதம் எனும் geometry நமக்கெல்லாம் தெரியும். புள்ளி, கோடு, முக்கோணம், வட்டம், சதுரம், பிரமிடு, கோளம், கன சதுரம் என வடிவங்களின் தன்மைகளையும், அவை தளம், வெளி இவற்றில் அமைந்து இருக்கும் தன்மைகளையும் கணக்கிடும் கணிதப் பிரிவு. பள்ளியில் நாம் எல்லொரும் படித்த யூக்ளிட் இன் தேற்றங்களும், அதன் நிரூபண முறைகளுமே இந்தப் பிரிவின் ஆரம்ப அடித்தளம் ஆகும். அதன் மேல் கட்டப்பட்ட மாபெரும் அமைப்புதான் இன்றிருக்கும் பெரும்பான்மையான கணித அறிவுகள். இந்தியாவின் பங்கும் பழங்காலத்திலிருந்து கணிதத்தில் பெரியதெனினும், எண்கணிதம் சார்ந்த துறைகளிலேயே இந்தியாவின் புகழ் அறியப் பட்டுள்ளது. இந்திய வான சாத்திரமும், கோயில் முதலான சிக்கலான செறிவான கட்டிட அமைப்புகளும் மிக துல்லியமான வடிவக் கணித தீர்வுகளின் மூலமே சாத்தியம் என்றாலும், கிரேக்க கணிதமும், தர்க்க இயலும் சேர்ந்து அமைத்து பின் 16 ம் நூற்றாண்டில் தெகார்த் முதலான வல்லுனர்களால் முன்னெடுத்துச் செல்லப்பட்ட 'மேற்கத்திய' வடிவக்கணிதமே பெரும் வீச்சுகளோடு வளர்ந்தது. இவற்றைப் பற்றி பின்னொரு பதிவில் நிதானமாக எழுதுகிறேன்.

சிலநாட்களாகவே இணையத்தில் பேசப்பட்டு, இன்று இந்துவில படித்த இந்தச் செய்தியே இதை எழுதத்தூண்டியது.
ரஷ்யநாட்டு கணித அறிஞரான கிரிகோரி பெரல்மான் ஒரு அதி முக்கிய கணிதக் கோட்பாடு ஒன்றிற்கு நிரூபணம் கண்டிருக்கிறார் என்பதே அது. தற்காலத்திய கணித முயற்பாட்டிலும், வளர்ச்சியிலும் யூகமுடிபுகள் (conjectures ) பெரும்பங்கு வகிக்கின்றன. அதாவது ஒரு கணித வல்லுனர் ஒரு கணித 'உண்மையை' ஒரு தேற்றமாக வடிவமைத்து எல்லோருக்கும் அறியத்தருவார். இந்த யூகமுடிபுக்கு அவரிடம் நிரூபணங்கள் இருக்காது. இது உண்மையாக இருக்கலாம் என்பது அவர் கற்றுணர்ந்த கணிதத்தின் அடிப்படியில் அவர் உணர்வது. உடனே கன்னாபின்னா என்று கண்டவர்களும் என்மனதுக்கும் இப்படித் தோன்றுகிறது என்று எழுதிக் குவித்து விட முடியாது. இத்தகைய யூகமுடிபுகளையும் எல்லா வல்லுனர்களும் கருத்துப் பரிபாற்றம் செய்யும் துறைசார் இதழ்களிலேயே வெளியிடுவர் அல்லது கருத்தரங்குகளிலும் பேசுவர். அதனால் 'நீ சொன்னால் காவியம் ' என்றபடி நம் புதுக்கவிதைகள் போல கணித யூகமுடிபுகளும் கொட்டிக்கிடக்க சாத்தியம் இல்லை. அவ்வாறு நிரூபணம் இன்றி இதுபோல் 'திறந்து' (open conjecture என்பது வல்லுனர் உபயோகிப்பது) இருக்கும் மிக முக்கியான யூகமுடிபுகளில் ஒன்று நாம் எல்லோரும் உணரக் கூடிய இவ்வெளியைப் பற்றியது. ஆன்ரி பொயின்கரே ( Henri Poincare) 1904 ல் கண்டது.

அதை ஆங்கிலத்தில் முதலில் எழுதிவிட்டு பின் தமிழாக்கமும் அதன் விளக்கமும் தருகிறேன். வேறு நல்ல தமிழ் இணைச்சொற்கள் தோன்றுபவர்கள் அதைப் பயன்படுத்த வசதியாக இருக்கும் என்று நம்புகிறேன்.

" Every closed simply connected three manifold is homeomorphic to the three sphere " . இதுதான் பொயின்கரே உடைய யூக முடிபு. இதைத்தமிழில் முதலில் மொழி பெயர்த்துவிட்டு அதன் அர்த்தத்தைப் பார்க்கலாம்.

தமிழில்: " அனைத்து மூடிய, நேர்இணைந்த, குறுதளச்சேர்ப்புகளும், முக்கோளத்துக்கு சரியிணைத்தொடர்பானவையே "

மேலே கண்ட வாக்கியம் எந்த 'உண்மையப்' பற்றிப் பேசுகிறது என்பதை இனி பார்க்கலாம்.


2. சப்பாத்தி மாவில் அண்டவெளி ஆராய்ச்சி

இப்படி கணித வல்லுனர்கள் மோட்டுவளையப் பார்த்துக் கொண்டே கண்டுபிடிக்கும் சூத்திரங்களும், தேற்றங்களும் பிற அறிவியல் தொழில் நுட்ப அறிஞர்களுக்கு 'இயற்கையை' அறியவும் அதைக் கட்டுப் படுத்தவும், மாற்றவும் ஆன முயற்சியில், சொல்வது தெளியச் சொல்ல ஒரு மொழியாக, ஊடகமாக பயன்படுகின்றன. அதாவது தற்போதைய அறிவியல், தொழில் நுட்பத்தின் மொழி கணிதம் தான். ஆங்கிலம் என்று எல்லோரும் பீலா விடுவதை நம்பாதீர்கள். இதனால் இந்த மொழியை கற்கத் தொடங்கிய இயல்பியல் போன்ற இயல் அறிஞர்கள் நாளைடைவில் இம்மொழியை செறிவாக்குவதில், வளர்ப்பதில் பெரும்பங்கு ஆற்றினர். இப்போது உயர் இயல்பியலுக்கும், கணிதத்துக்கும் பெருத்த வேறுபாடு ஒன்றும் இல்லை. இருக்கும் வேறுபாடுகளைப் பின்னர் பதிக்கிறேன்.

ஐன்ஸ்டைன்னின் பொதுமைச்சார்புனிலைத் தத்துவமும் குவான்ட்டம் கோட்பாடும் இன்றைய இயல்பியலின் அஸ்திவாரங்கள். யாருக்காவது அறிவியல் அரைகுறை 'அறிவு'தான் என்று நிரூபிக்கவேண்டுமானால் இவ்விரண்டு கோட்பாடுகளையும் மறுதலித்தால் போதும். இவ்விரண்டு கோட்பாடுகளை விவரிக்கும் சமன்பாடுகளும் வடிவியல் கணிதத்தின் இற்றைய முன்னேற்றங்களையும் உடனுக்கு உடனே உள்வாங்கக் கூடியவை. எனவே வடிவியல் கணிதத்தின் 'வளர்ச்சி' இயல்பியலால் மிகக் கூர்ந்து கவனிக்கப் படும். ஆகவே முப்பரிமாண வெளியைப் பற்றிய பொயின்கரே வின் மேற்கண்ட யூகமுடிபு பிற துறைகளுக்கும் மிக முக்கியமானதாகும்.

முதலில் எல்லா அறிவியலுக்கும் அடிப்படை செய்முறைச் சோதனைகள். பருண்மை இருப்பை விலக்கி அந்தரத்தில் மிதக்கும் எந்த அறிவியல் புலமும் வேகமாக முன்னேறியதில்லை. முதலில் சப்பாத்தி மாவுடன் சற்றே விளையாடுவோம்.

அ.
அம்மாவோ, மனைவியோ சப்பாத்திக்கு மாவுபிசையும் போது கொஞ்சிக் கூத்தாடிப் பெற்ற நன்றாக பிசைந்த ஒரு உருண்டை மாவை எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
அந்த மாவு உருண்டையை முதலில் சற்றே குழியாக்கவும். (படம்) முழுவதும் ஓட்டை போடுவிடாதீர்கள். ஒரு குழி மட்டும்தான். மாவிளக்கில் நெய் ஊற்ற செய்வது போல. இப்போது அந்தக் குழியை இன்னும் ஆழமாக்குங்கள். அப்படியே செய்து கொண்டுவந்தால் ஒரு கோப்பை போல வடிவம் கிடைக்கும். இதைச் செய்யும் போது என்ன நடந்தது? கோப்பையை ஆழப்படுத்த ஆழப் படுத்த அதன் சுவர்கள் மெலிகின்றன. மற்றபடி நாம் ஒரு கோளத்தை ஒரு குழியுள்ள கோப்பையாக மாற்றிவிட்டோ ம். இந்த செயலில் நாம் செஇய்யாது என்ன என்பதுதான் முக்கியம். நாம் கோள உருவை மாற்றினோம். ஆனால் அதை கிழிக்கவோ, ஓட்டை போடவோ இல்லை. இப்படி வடிவங்களை கிழிக்காமலோ, ஓட்டை போடாமலோ மாற்றும் செயல்களை 'உருமாற்றிகள்' (transformations) என அழைக்கலாம். இப்படிப்பட்ட உருமாற்றிகளைப் பற்றி கற்கும் கணிதத் துறைக்கு Topolgy என்று பெயர். மேலே சொன்ன பொயின்கரேயின் யூகமுடிபு இத்துறையைச் சார்ந்தது.
நாம் இப்போது செய்துள்ள கோப்பையின் முக்கியமான தன்மை அதில் 'ஒட்டை' கள் ஏதுமில்லை. காபியோ, கழுநீரோ குடிக்க ஏதுவாக ஒரு குழி மட்டும் தான் உள்ளது.
எனவே முதலில் நாம் எடுத்த மாவு கோளமும், இப்போதுள்ள கோப்பையும், Topology படி, சரியிணைத்தொடர்பானவை.
அதாவது இந்த இரு வடிவங்களையும் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றாக மாற்ற நாம் பயன்படுத்தும் உருமாற்றிகள் (கணிதப்படி, உருமாற்றிகள். நம் சோதையில், கையால் நெகிழ்விப்பது ) ஓட்டை போடுவது, கிழிப்பது போன்றவற்றை செய்வதில்லை.



ஆ.
சரி இப்போது கோப்பையை முடிப்போம்.
கோப்பையைப் பிடித்து அருந்துவதற்கு ஒரு பிடி தேவைப் படுகிறது. இதை இப்போது இன்னொரு சிறு மாவு உருண்டையை சற்றே நீளமாக உள்ளங்கையில் உருட்டி, அதை பிறை போல் வளைத்து பிடி செய்து விடலாம். இந்த செய்கையிலும், உருட்டுதல், வளைத்தல் இவை எல்லாம் topological உருமாற்றிகளே. இதிலும், கிழிப்பது, ஓட்டை போடுவது போன்றவை இல்லை.
இப்போது பிடியும் தயார்.




இ.
பிடியை கோப்பையில் ஒட்டவைத்தல். நிறுத்துங்கள். இப்போது செய்வது ஒரு topological உருமாற்றுச் செய்கை இல்லை. ஏனென்றால் நீங்கள் ஒரு 'ஓட்டையை ' கோப்பை வடிவத்துக்கு உள்ளிடுகிறீர்கள். அதாவது பிடியுள்ள கோப்பையில் ஒரு ஓட்டை உள்ளது. (நாம் விரலை உள்ளே விட்டு பிடித்துக்கொள்ள). பிடியில்லாத கோப்பைக்கு ஓட்டை இல்லை.

மேலே சொன்ன கோப்பையின் 'ஓட்டை' விடயம் மிக முக்கியமானது. நமது அண்டவெளியில் ஓட்டைகள் உள்ளனவா என்பது எவ்வளவு முக்கியமோ, அவ்வளவு முக்கியம்.

மீதியை அடுத்த பதிவில் காண்போம்

No comments: