Saturday, September 18, 2004

பாப்பாப் பாட்டு

குட்டிப் பயல்கள் ஒருவரை ஒருவர் வேடிக்கை செய்து பள்ளியில் பாடும் பாடல்கள் இனிமையானவை.
அவை கேட்கும்போது உடனே புன்னகையை வரவைக்கும்.
கொஞ்சம் யோசித்தால் ஒரு பெரும் கதையையே உள்ளடக்கியும் இருக்கலாம்.

இன்றைக்கு பொருத்தமான கன்னட சிறுவர்கள் பாடலொன்று:


கணேஷா பந்தா
காய்கடபு திந்தா
சிக்கெரெல் எத்தா
தொட்டகெரேல் பித்தா

(கணேஷா வந்தான்
காய் கொழுக்கட்டை தின்றான்
சிறுஏரியிலிருந்து எழுந்தான்
பெரும்ஏரியில் விழுந்தான்)


காய் கடபு - தேங்காய் கொழுக்கட்டை
சிக்க கெரெ யல்லி - சிறு ஏரி யிலிருந்து
தொட்ட கெரெ யல்லி - பெரு ஏரி யில்
எத்தா - எழுந்தான்
பித்தா - விழுந்ததான்

Sunday, September 12, 2004

வன்புலம் (சிறுகதை)




உயர்ந்தோங்கிய குடவரையின் அப்பால் சூரியன் இறங்கத் தொடங்கிய போது எழினி ஆடுகளைப் பத்தி வீடு திருப்பினாள். இரண்டு கிடாரிகளும் ஆறு பெட்டைகளுமாகிய அச்சிறு மந்தையை அவள் கரட்டாற்றங்கரையில் நடத்தியபோது அருகிருந்த மரக்கூட்டங்களிடையே சலசலத்தது. இடைக்குறுவாளை வலக்கையில் தொட்டுத் திரும்பிய கணத்தில் இரு பெருங்குதிரைகள் எதிரே பாய்ந்தன.

குதிரைகள் இரண்டும் சுடுமூச்சுடன் அவள் பாதையின் குறுக்கே பாய்ந்ததில் ஆடுகள் சிதறி மரக்கூட்டத்தினுள் ஓடின. ஆற்றை நோக்கிப் பாய்ந்த இரு கிடாரிகளும் சிறுதொலைவு ஓடித் திரும்பி அவையும் மரங்களினூடே மறைந்தன.

எழினி கூர்புலன் நிலையில் நெருங்கும் குதிரைகளையும் கண்டாள். இடுப்பளவு சடாரெனக் குனிந்து அதே அசைவில் குறுவாளை எறிந்தாள். அவள் மணிக்கட்டின் சுழற்சியின் விசை அவ்வாள் ஒரு வீரனின் கழுத்தில் தைத்த ஆழத்தில் தெரிந்தது. அவன் அலறி விழ அவன் துணைவீரன் குதிரையின் பக்கவாட்டில் சரிந்து எழினியின் தலை உயரத்தில் இருந்து பிணைக்கயிற்றை வீசினான். அவள் சுழன்று தரை வீழ்ந்தாள். அவ்வீரன் குதித்து அவள் கைகால் அமுக்கிக் கயிற்றால் பினைத்தான். குத்துப் பட்டு வீழ்ந்த வீரனைக் குதிரையில் இருத்தி ஒரு சீழ்க்கையோடு அதைத்தட்ட அது மரச் சோலையூடே சேர்விடம் நோக்கிப் புகுந்தது.

" உன் மனைக்குத்தான் போகிறோம். அஞ்சாதே. " என்றான்.

எழினியின் பார்வையில் தீர்க்கமும் சற்றே அச்சமும் தெறித்தது. இவன் பணிவீரனா, அன்றி எயினர்க் குழுவினனா என மயங்கினாள்.

" ஏன் என்னைப் பிணைத்திருக்கின்றாய். வீரம்தான்" என்றாள்.

அவன் சிரித்தவாறே, " கொங்குப் பெண்டிர் வாள் பயிற்சியை எம்குழுத்தலைவர் எமக்கு முழுவதும் விரித்திருக்கின்றார் " என்றான்.

இவன் கொங்கன் இல்லையா, பின்? " நீ எயினன் அல்லவா? கோசனா?" என்று கேட்டாள்.

" உனக்கெதற்கு அவை பெண்ணே. எயினன் போல்த் தெரிகிறேனா. அல்லது கோசன் போல்க் காண்கிறேனா? "

" எனக்குச் சொல்லத் தெரியவில்லை. என்னை விடுவி "

அவ்வீரனின் கண்கள் ஆற்றின் அக்கரையில் ஒருகணம் பதிந்தன.
அக்கணத்தில் எழினி நிலத்தில் சரிந்து இடுப்பை ஒடித்து கால்களால் அவனை எற்றினாள்.
அதை அவ்வீரன் மார்பில் தாங்கி ஐந்து முழம் அகன்று விழுந்தான்.

விழுந்தவன் உருண்டெழுந்து அவள் மேல் பாய்ந்து,

" எழினி, நீ யார், உன் தந்தை யார் என்பது எனக்குத் தெரியும். தனிப்போர் நன்கு கற்றவன் நான். இதைப்போல் மடத்தனமாக முயற்சிகள் செய்யாதே. உம் இருவரையும் கொன்று வரத்தான் உத்தரவு. இமைப்பொழுதில் வெறுங்கையால் அதைச் செய்து விடுவேன். நினைவில் கொள்"

எழினிக்கு நிலமை புரிந்தது. இவனின்றேல் இன்னும் பலர் வரக்கூடும் என்றறிந்தாள்.

" என்ன கருதி எம்மைக்கொல்ல உம்குழு முயல்கிறது வீரனே ..."

" உன் தந்தையிடம் பேசி பிறகு சொல்கிறேன். இன்றேல் கொல்கிறேன். என்னை மாறன் என்றழைப்பர். புரவியில் ஏறு பெண்ணே. தப்ப முயலாதே. இறந்து படுவாய்"

ஆற்றைக் கடந்து, கரிமேடு தாண்டி, நிலச்சரிவில் குதிரை இறங்கத் தொடங்கியது.
தனித்த அவள் மனை மாலை ஒளியில் தினைப்புலத்தினூடே ஒளிர்ந்தது.

" நிச்சயம் தந்தை நாம் வருவதைக் கண்டிருப்பார் வீரனே. அவரைக் கொன்றுவிடாதே ..."

பேச்சு அவன் கவனத்தை மாற்றும், தந்தைக்கு ஓரிரு கணங்களே போதும் என்பதை அவள் அறிவாள்.

தினைச் செடிகளினூடே குதிரை விரைந்தபோது அடைய வந்திருந்த புட்கள் எழுந்து பறந்தோடின.

ஆதன் முதலிலேயே வீட்டை விட்டு வெளியேறி தாழம்புதருக்குள் ஒடுங்கிவிட்டார். அவர் கையில் பற்றியிருந்த குத்தீட்டியின் முனை மாறனின் மார்பின் தொடர்கோட்டில் மேல் கீழாக அசைந்து கொண்டிருந்தது.

மறுகணப்பொழுதில், குதிரை எழினியை மட்டும் தாங்கி, புலத்தை விட்டு வெளியேறி, வீட்டின் முன் களத்தை அடைந்து நின்றது. மாறன் எங்கும் தென்படவில்லை.

ஆதன் கூர்பார்வையில் தினைக்கதிர்களின் உச்சங்களை அவற்றின் அசைவைப் பார்த்து ஆய்ந்தார். எழினியுடன் வந்த வீரன் அசாதாரணன் என உணர்ந்தார். பார்வையை வீட்டருகில் குவித்தார். எழினி குதிரையில் இருந்து குதித்து நின்È¡ள். அவள் மனம் பதற்றமாயிருந்தது. மாறன் நிச்சயம் தந்தையைத் தாக்குவான் என்பதுணர்ந்தாள். ஆதன் மிகுமதிப் போராளன். ஆனால் மாறன் இளையவன். சிறுத்தையின் விரைவு உடல் பாய்ச்சல் கொண்டவன். ஆதனுக்கு உதவி வேண்டும். எழினி தன் கைக்கட்டுகளை நெகிழ்த்த முயன்றாள்.

" உம் ஈட்டியைத் தாழ்த்துங்கள் ஐயா. அன்றேல் இறந்து படுவீர்"

மாறனின் குரல் மனையின் கூரையின் மீதிருந்து ஒலித்தது.
அவன் கையில் சிறு வளைவில்லும் வைத்திருந்தான். ஆதன் அவ்வில் இத்துணை தொலைவு எய்ய வல்லதா என நினைத்தார். ஈட்டியை மாறனை நோக்கித்திருப்பி தோளைப் பின்னிழுத்தார்.

சரக்கென அவர் காதிற்கு ஒரு விரற்கடை விட்டு ஓர் அம்பு கடந்தது.

" ஈட்டியைத் தாழ்த்துங்கள். அடுத்த அம்பு உம் இதயத்தைத் துளைக்கும். மற்றது எழினியை" என்றான் மாறன்.
ஆதன் ஈட்டியத்தாழப் பற்றி புதரினின்று வெளிவந்தார்.

"யார் நீ. உன் பணி என்ன? " எனக்கேட்டவாறே எழினியின் கட்டுகளை அவிழ்த்தார் ஆதன்.

"என்னை வச்சியன் மாறன் என்றழைப்பர். உம் இருவரையும் கொன்று சில பொருட்களைக் கவர்ந்துவர உத்தரவு"

" எயினர் தனித்துப் போரிடவும் துணிந்திருக்கிறீர் போலும் " என்று இகழந்தார் ஆதன்.

" நான் எயினன் அல்லன். உம் மகள் என் இணைவீரனைக் கொன்றுவிட்டாள். அதற்காகவேனும் உம்மிருவரையும் கோறல் தவறாகாது"

ஆதன் தன் மகளைப் பார்த்தார். இருவரும் குறிப்புணர்த் தசையசைவுகளில் செய்திகள் பரிமாறினர் "

என்னேரமும் பிறர் சூழலாம் என்பதை ஆதன் தெளிவாக உனர்ந்தார்.

" வீரனே, நீ எங்களை கொன்று உன் தேட்டையைக் கவர்ந்து செல்லாமல் ஏன் நிற்கிறாய் என்றறியேன். ஆனால் நன்றி மிக்கவனாக இருப்பேன் என்று எண்ணாதே " என்றார்.

மாறனைச் செயல்பட வைத்தால் தப்ப வழி கிட்டலாம். இன்றேல் சிறைப் பிணையாளராக இருப்பது தகாது என்று உணர்ந்தார் ஆதன்.

மாறன் புன்னகைத்து, " ஐயா, உம் இருவரையும் கொல்லுதல் எனக்கு எளிது. என்னை நீங்கள் இருவரும் சேர்ந்தும் வெல்ல ஆகாது. எனக்கு நீங்கள் ஒன்றைக் கற்றுத்தர வேண்டும். எம் குழுவுக்கு அவ்வறிவு வேண்டியதில்லை. அதனால் பொறுத்திருக்கிறேன்" என்றான்."

" வீரனே, நாங்களோ வேட்டுவர். ஆயர்போல் நிலம் திருத்தி பயிர் வள்ர்த்தல் எம் தாத்தாவால் ஆனது. எம்மிடம் என்ன கற்க வந்தாய் நீ. பறவை ஓட்டி தினைப்பயிர் காப்பதா ..?"

மாறன் இப்போது நகைக்கவில்லை.
" ஐயா, உம் பளிக்குப் பணிக்களரி எங்குள்ளது ?"

ஆதன் துணுக்குற்றார்.

" எந்தப் பணிக்களரி?. யாம் வேட்டுவர் வீரனே"

"பளிக்குப் பணிக்களரி. பளிக்குப் பாளங்கள் சேர்த்த அறை. எங்கு கொண்டுள்ளீர் அதை?"

எழினி விரல்களை விரைப்பாக்கி தோள்களைத் தளர்த்தினாள். உடல் எடையை வயிற்றினின்று கீழாகவும், கால்களினின்று மேலாகவும் தொடைகளுக்கு மாற்றினாள். கால்களை சற்றே அகற்றி, குதிகால்களை ஒரு இழை உயர்த்தி, முன்கால்மடக்கி மூச்சைச் சீராக்கினாள். எம்பிப் பாய்ந்து மாறனின் விலாவின் கீழ் வலதுகால் கட்டை விரலைச் செலுத்தினாள்.
சுழன்று தப்பித் திரும்பிய மாறன் அவள் கெண்டக்காலைத்தட்டி உயர்த்தித் தள்ளினான். அவன் வீச்சில் பத்துமுழம் அகன்று வீழ்ந்த எழினி உருண்டாள்.

ஆதன் பறவையோட்டும் குதிரெறிப்பொறி ஒன்றைப் பற்றிச் சுழற்றி அடித்தார். மாறனின் நெற்றிப் பொட்டில் தாக்கிய கல் ஆழவெட்டித் தெறித்தது.சரிந்து கொண்டிருந்த மாறன் மேல்ப் பாய்ந்தார் ஆதன். மாறனின் கை இடைக்கச்சை விடுவித்து உறுவிச் சுழற்றிய சுருள்தொடுப்புக் கத்தி ஆதனின் கழுத்தில் பதிந்தது.

தன் முகத்தில் பெருகி கண்ணில் இறங்கிய குருதியை விலக்கி மாறன் எழினியை நோக்கி விரைந்தபோது அவள் புரவியின் மீது தாவியேறி தினைப்புலத்தைக் கீறி அப்பால் இருந்த புன்னைமரக் காட்டில் மறைந்தாள். அவன் இணைவீரர்கள் வந்தடைந்த போது மயங்கிய மாறனின் உடலும் உயிர்போகிய ஆதனின் உடலும் அருகாமையில் கிடந்தன. ஒரு கிடாரியத் தவிர மற்ற ஆடுகள் வழிகண்டு வந்து பட்டிக்குள் புகுந்து கொண்டிருந்தன. குடவரை கருக்கத் தொடங்கியிருந்தது.

Wednesday, September 08, 2004

வெளியின் வடிவங்கள் : தற்போதைய உயர்கணித சிறு குறிப்பு -1

1. என்னதான் ரகசியமோ உலகத்திலே ...

வடிவக்கணிதம் எனும் geometry நமக்கெல்லாம் தெரியும். புள்ளி, கோடு, முக்கோணம், வட்டம், சதுரம், பிரமிடு, கோளம், கன சதுரம் என வடிவங்களின் தன்மைகளையும், அவை தளம், வெளி இவற்றில் அமைந்து இருக்கும் தன்மைகளையும் கணக்கிடும் கணிதப் பிரிவு. பள்ளியில் நாம் எல்லொரும் படித்த யூக்ளிட் இன் தேற்றங்களும், அதன் நிரூபண முறைகளுமே இந்தப் பிரிவின் ஆரம்ப அடித்தளம் ஆகும். அதன் மேல் கட்டப்பட்ட மாபெரும் அமைப்புதான் இன்றிருக்கும் பெரும்பான்மையான கணித அறிவுகள். இந்தியாவின் பங்கும் பழங்காலத்திலிருந்து கணிதத்தில் பெரியதெனினும், எண்கணிதம் சார்ந்த துறைகளிலேயே இந்தியாவின் புகழ் அறியப் பட்டுள்ளது. இந்திய வான சாத்திரமும், கோயில் முதலான சிக்கலான செறிவான கட்டிட அமைப்புகளும் மிக துல்லியமான வடிவக் கணித தீர்வுகளின் மூலமே சாத்தியம் என்றாலும், கிரேக்க கணிதமும், தர்க்க இயலும் சேர்ந்து அமைத்து பின் 16 ம் நூற்றாண்டில் தெகார்த் முதலான வல்லுனர்களால் முன்னெடுத்துச் செல்லப்பட்ட 'மேற்கத்திய' வடிவக்கணிதமே பெரும் வீச்சுகளோடு வளர்ந்தது. இவற்றைப் பற்றி பின்னொரு பதிவில் நிதானமாக எழுதுகிறேன்.

சிலநாட்களாகவே இணையத்தில் பேசப்பட்டு, இன்று இந்துவில படித்த இந்தச் செய்தியே இதை எழுதத்தூண்டியது.
ரஷ்யநாட்டு கணித அறிஞரான கிரிகோரி பெரல்மான் ஒரு அதி முக்கிய கணிதக் கோட்பாடு ஒன்றிற்கு நிரூபணம் கண்டிருக்கிறார் என்பதே அது. தற்காலத்திய கணித முயற்பாட்டிலும், வளர்ச்சியிலும் யூகமுடிபுகள் (conjectures ) பெரும்பங்கு வகிக்கின்றன. அதாவது ஒரு கணித வல்லுனர் ஒரு கணித 'உண்மையை' ஒரு தேற்றமாக வடிவமைத்து எல்லோருக்கும் அறியத்தருவார். இந்த யூகமுடிபுக்கு அவரிடம் நிரூபணங்கள் இருக்காது. இது உண்மையாக இருக்கலாம் என்பது அவர் கற்றுணர்ந்த கணிதத்தின் அடிப்படியில் அவர் உணர்வது. உடனே கன்னாபின்னா என்று கண்டவர்களும் என்மனதுக்கும் இப்படித் தோன்றுகிறது என்று எழுதிக் குவித்து விட முடியாது. இத்தகைய யூகமுடிபுகளையும் எல்லா வல்லுனர்களும் கருத்துப் பரிபாற்றம் செய்யும் துறைசார் இதழ்களிலேயே வெளியிடுவர் அல்லது கருத்தரங்குகளிலும் பேசுவர். அதனால் 'நீ சொன்னால் காவியம் ' என்றபடி நம் புதுக்கவிதைகள் போல கணித யூகமுடிபுகளும் கொட்டிக்கிடக்க சாத்தியம் இல்லை. அவ்வாறு நிரூபணம் இன்றி இதுபோல் 'திறந்து' (open conjecture என்பது வல்லுனர் உபயோகிப்பது) இருக்கும் மிக முக்கியான யூகமுடிபுகளில் ஒன்று நாம் எல்லோரும் உணரக் கூடிய இவ்வெளியைப் பற்றியது. ஆன்ரி பொயின்கரே ( Henri Poincare) 1904 ல் கண்டது.

அதை ஆங்கிலத்தில் முதலில் எழுதிவிட்டு பின் தமிழாக்கமும் அதன் விளக்கமும் தருகிறேன். வேறு நல்ல தமிழ் இணைச்சொற்கள் தோன்றுபவர்கள் அதைப் பயன்படுத்த வசதியாக இருக்கும் என்று நம்புகிறேன்.

" Every closed simply connected three manifold is homeomorphic to the three sphere " . இதுதான் பொயின்கரே உடைய யூக முடிபு. இதைத்தமிழில் முதலில் மொழி பெயர்த்துவிட்டு அதன் அர்த்தத்தைப் பார்க்கலாம்.

தமிழில்: " அனைத்து மூடிய, நேர்இணைந்த, குறுதளச்சேர்ப்புகளும், முக்கோளத்துக்கு சரியிணைத்தொடர்பானவையே "

மேலே கண்ட வாக்கியம் எந்த 'உண்மையப்' பற்றிப் பேசுகிறது என்பதை இனி பார்க்கலாம்.


2. சப்பாத்தி மாவில் அண்டவெளி ஆராய்ச்சி

இப்படி கணித வல்லுனர்கள் மோட்டுவளையப் பார்த்துக் கொண்டே கண்டுபிடிக்கும் சூத்திரங்களும், தேற்றங்களும் பிற அறிவியல் தொழில் நுட்ப அறிஞர்களுக்கு 'இயற்கையை' அறியவும் அதைக் கட்டுப் படுத்தவும், மாற்றவும் ஆன முயற்சியில், சொல்வது தெளியச் சொல்ல ஒரு மொழியாக, ஊடகமாக பயன்படுகின்றன. அதாவது தற்போதைய அறிவியல், தொழில் நுட்பத்தின் மொழி கணிதம் தான். ஆங்கிலம் என்று எல்லோரும் பீலா விடுவதை நம்பாதீர்கள். இதனால் இந்த மொழியை கற்கத் தொடங்கிய இயல்பியல் போன்ற இயல் அறிஞர்கள் நாளைடைவில் இம்மொழியை செறிவாக்குவதில், வளர்ப்பதில் பெரும்பங்கு ஆற்றினர். இப்போது உயர் இயல்பியலுக்கும், கணிதத்துக்கும் பெருத்த வேறுபாடு ஒன்றும் இல்லை. இருக்கும் வேறுபாடுகளைப் பின்னர் பதிக்கிறேன்.

ஐன்ஸ்டைன்னின் பொதுமைச்சார்புனிலைத் தத்துவமும் குவான்ட்டம் கோட்பாடும் இன்றைய இயல்பியலின் அஸ்திவாரங்கள். யாருக்காவது அறிவியல் அரைகுறை 'அறிவு'தான் என்று நிரூபிக்கவேண்டுமானால் இவ்விரண்டு கோட்பாடுகளையும் மறுதலித்தால் போதும். இவ்விரண்டு கோட்பாடுகளை விவரிக்கும் சமன்பாடுகளும் வடிவியல் கணிதத்தின் இற்றைய முன்னேற்றங்களையும் உடனுக்கு உடனே உள்வாங்கக் கூடியவை. எனவே வடிவியல் கணிதத்தின் 'வளர்ச்சி' இயல்பியலால் மிகக் கூர்ந்து கவனிக்கப் படும். ஆகவே முப்பரிமாண வெளியைப் பற்றிய பொயின்கரே வின் மேற்கண்ட யூகமுடிபு பிற துறைகளுக்கும் மிக முக்கியமானதாகும்.

முதலில் எல்லா அறிவியலுக்கும் அடிப்படை செய்முறைச் சோதனைகள். பருண்மை இருப்பை விலக்கி அந்தரத்தில் மிதக்கும் எந்த அறிவியல் புலமும் வேகமாக முன்னேறியதில்லை. முதலில் சப்பாத்தி மாவுடன் சற்றே விளையாடுவோம்.

அ.
அம்மாவோ, மனைவியோ சப்பாத்திக்கு மாவுபிசையும் போது கொஞ்சிக் கூத்தாடிப் பெற்ற நன்றாக பிசைந்த ஒரு உருண்டை மாவை எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
அந்த மாவு உருண்டையை முதலில் சற்றே குழியாக்கவும். (படம்) முழுவதும் ஓட்டை போடுவிடாதீர்கள். ஒரு குழி மட்டும்தான். மாவிளக்கில் நெய் ஊற்ற செய்வது போல. இப்போது அந்தக் குழியை இன்னும் ஆழமாக்குங்கள். அப்படியே செய்து கொண்டுவந்தால் ஒரு கோப்பை போல வடிவம் கிடைக்கும். இதைச் செய்யும் போது என்ன நடந்தது? கோப்பையை ஆழப்படுத்த ஆழப் படுத்த அதன் சுவர்கள் மெலிகின்றன. மற்றபடி நாம் ஒரு கோளத்தை ஒரு குழியுள்ள கோப்பையாக மாற்றிவிட்டோ ம். இந்த செயலில் நாம் செஇய்யாது என்ன என்பதுதான் முக்கியம். நாம் கோள உருவை மாற்றினோம். ஆனால் அதை கிழிக்கவோ, ஓட்டை போடவோ இல்லை. இப்படி வடிவங்களை கிழிக்காமலோ, ஓட்டை போடாமலோ மாற்றும் செயல்களை 'உருமாற்றிகள்' (transformations) என அழைக்கலாம். இப்படிப்பட்ட உருமாற்றிகளைப் பற்றி கற்கும் கணிதத் துறைக்கு Topolgy என்று பெயர். மேலே சொன்ன பொயின்கரேயின் யூகமுடிபு இத்துறையைச் சார்ந்தது.
நாம் இப்போது செய்துள்ள கோப்பையின் முக்கியமான தன்மை அதில் 'ஒட்டை' கள் ஏதுமில்லை. காபியோ, கழுநீரோ குடிக்க ஏதுவாக ஒரு குழி மட்டும் தான் உள்ளது.
எனவே முதலில் நாம் எடுத்த மாவு கோளமும், இப்போதுள்ள கோப்பையும், Topology படி, சரியிணைத்தொடர்பானவை.
அதாவது இந்த இரு வடிவங்களையும் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றாக மாற்ற நாம் பயன்படுத்தும் உருமாற்றிகள் (கணிதப்படி, உருமாற்றிகள். நம் சோதையில், கையால் நெகிழ்விப்பது ) ஓட்டை போடுவது, கிழிப்பது போன்றவற்றை செய்வதில்லை.



ஆ.
சரி இப்போது கோப்பையை முடிப்போம்.
கோப்பையைப் பிடித்து அருந்துவதற்கு ஒரு பிடி தேவைப் படுகிறது. இதை இப்போது இன்னொரு சிறு மாவு உருண்டையை சற்றே நீளமாக உள்ளங்கையில் உருட்டி, அதை பிறை போல் வளைத்து பிடி செய்து விடலாம். இந்த செய்கையிலும், உருட்டுதல், வளைத்தல் இவை எல்லாம் topological உருமாற்றிகளே. இதிலும், கிழிப்பது, ஓட்டை போடுவது போன்றவை இல்லை.
இப்போது பிடியும் தயார்.




இ.
பிடியை கோப்பையில் ஒட்டவைத்தல். நிறுத்துங்கள். இப்போது செய்வது ஒரு topological உருமாற்றுச் செய்கை இல்லை. ஏனென்றால் நீங்கள் ஒரு 'ஓட்டையை ' கோப்பை வடிவத்துக்கு உள்ளிடுகிறீர்கள். அதாவது பிடியுள்ள கோப்பையில் ஒரு ஓட்டை உள்ளது. (நாம் விரலை உள்ளே விட்டு பிடித்துக்கொள்ள). பிடியில்லாத கோப்பைக்கு ஓட்டை இல்லை.

மேலே சொன்ன கோப்பையின் 'ஓட்டை' விடயம் மிக முக்கியமானது. நமது அண்டவெளியில் ஓட்டைகள் உள்ளனவா என்பது எவ்வளவு முக்கியமோ, அவ்வளவு முக்கியம்.

மீதியை அடுத்த பதிவில் காண்போம்

Saturday, September 04, 2004

நண்டுகளின் இருத்தலியல் - 3

கடுங்கோடை நண்பகலில், காமூ கடற்கரையில் ....

அம்மா நண்டுதான். அதுக்காக பச்சயாவா சாப்பிடமுடியும். அதுதான் சுட்டேன்.